阻力f受到速度的影响,f=k*v^2,加速度a受到阻力的影响,a=f/m.k为常数,m为物体质量.怎么求物体的飞行距离

Question

阻力f受到速度的影响,f=k*v^2,加速度a受到阻力的影响,a=f/m.k为常数,m为物体质量.怎么求物体的飞行距离

Answer 1

∵a=f/m,f=kv²
∴dv/dt=kv²/m
∵dv/dt=dx/dt·dv/dx=vdv/dx
∴vdv/dx=kv²/m
∴dv/dx=kv/m
∴dv/v=kdx/m
∴∫dv/v=∫kdx/m
∴lnv=kx/m+lnc
∴kx/m=ln(v/c)
∴x=m/k·ln(v/c)
∵x(vo)=0
∴0=m/k·ln(vo/c)
∴c=vo
∴x=m/k·ln(v/vo)
∴ln(v/vo)=kx/m
∴v/vo=e^(kx/m)
∴v=vo·e^(kx/m)
∴dx/dt=vo·e^(kx/m)
∴dx/e^(kx/m)=vodt
∴∫dx/e^(kx/m)=∫vodt
∴∫e^(-kx/m)dx=∫vodt
∴-m/k∫e^(-kx/m)d(-kx/m)=vot+c'
∴e^(-kx/m)=-kvot/m-kc'/m
∴-kx/m=ln(-kvot/m-kc'/m)
∵t=0,x(0)=0
∴0=ln(-kc'/m)
∴-kc'/m=1
∴-kx/m=ln(-kvot/m+1)
∴x=-m/k·ln(1-kvot/m)