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设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2),且图像在y轴上的截距为1,在x轴上截得线段长为2,f(x)解析式为
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设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2),且图像在y轴上的截距为1,在x轴上截得线段长为2,f(x)解析式为
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答案和解析
既然是二次函数,设为f(x)=ax^2+bx+c.(a!=0) (!=表示"不等于")
根据题意可列出方程:
(1)在y轴上的截距为1,即x=0时,f(x)=ax^2+bx+c=a*0+b*0+c
=c
=1,
则:c=1()(实际上对截距的概念熟悉的话很容易知道在y轴上的截距就为c)
(2)被x截得的线段长为2√2可以看作相对应的方程的两根差为2√2,可以列方程:x2-x1=[-b+√(b^2-4ac)]/2a-[-b-√(b^2-4ac)]/2a
=√(b^2-4ac)]/a=2√2 (显然a>0)
为了计算方便,先把c=1代入式子再化简单,
(b^2-4a)/a^2=8.(1)
(3)二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2),那么:
a(x-2)^2+b(x-2)+c=a(-x-2)^2+b(-x-2)+c,化简,
ax^2-4ax+4a+b(x-2)+c=ax^2+4ax+4a+b(-x-2)+c
即8ax=2bx,因为此式子恒等,不论x=0否,那么
b=4a,
将b=4a代入式子(1)
(4a)^2-4a=8a^2,即8a^2-4a=0,得到a=1/2或a=0,显然a!=0(二次函数所以a不等于0),那么b=2,
a=1/2,b=2,c=1,
f(x)=1/2x^2+2x+1.
根据题意可列出方程:
(1)在y轴上的截距为1,即x=0时,f(x)=ax^2+bx+c=a*0+b*0+c
=c
=1,
则:c=1()(实际上对截距的概念熟悉的话很容易知道在y轴上的截距就为c)
(2)被x截得的线段长为2√2可以看作相对应的方程的两根差为2√2,可以列方程:x2-x1=[-b+√(b^2-4ac)]/2a-[-b-√(b^2-4ac)]/2a
=√(b^2-4ac)]/a=2√2 (显然a>0)
为了计算方便,先把c=1代入式子再化简单,
(b^2-4a)/a^2=8.(1)
(3)二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2),那么:
a(x-2)^2+b(x-2)+c=a(-x-2)^2+b(-x-2)+c,化简,
ax^2-4ax+4a+b(x-2)+c=ax^2+4ax+4a+b(-x-2)+c
即8ax=2bx,因为此式子恒等,不论x=0否,那么
b=4a,
将b=4a代入式子(1)
(4a)^2-4a=8a^2,即8a^2-4a=0,得到a=1/2或a=0,显然a!=0(二次函数所以a不等于0),那么b=2,
a=1/2,b=2,c=1,
f(x)=1/2x^2+2x+1.
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