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设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),集合A={x|x=f(x),x∈R},B={x|x=f(f(x)),x∈R}.(1)证明:A⊂B;(2)当A={-1,3}时,求集合B.
题目详情
设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),集合A={x|x=f(x),x∈R},B={x|x=f(f(x)),x∈R}.
(1)证明:A⊂B;
(2)当A={-1,3}时,求集合B.
(1)证明:A⊂B;
(2)当A={-1,3}时,求集合B.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵集合A={x|x=f(x),x∈R},
∴任取m∈A,有m=f(m),
∴f(m)=f(f(m)),
从而m=f(f(m)),
因此m∈B,于是A⊂B;
(2)∵A={-1,3},将x=-1和3带入x=x2+ax+b中,得
a-1=-(-1+3),即a=-1,
b=(-1)×3=-3;
故f(x)=x2-x-3
从而(x2-x-3)2-(x2-x-3)-3=x
移项(x2-x-3)2=x2
故x2-x-3=x或 x2-x-3=-x
x=-1,3或 x=
,-
故B={-1,3,
,-
}
∴任取m∈A,有m=f(m),
∴f(m)=f(f(m)),
从而m=f(f(m)),
因此m∈B,于是A⊂B;
(2)∵A={-1,3},将x=-1和3带入x=x2+ax+b中,得
a-1=-(-1+3),即a=-1,
b=(-1)×3=-3;
故f(x)=x2-x-3
从而(x2-x-3)2-(x2-x-3)-3=x
移项(x2-x-3)2=x2
故x2-x-3=x或 x2-x-3=-x
x=-1,3或 x=
3 |
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故B={-1,3,
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