如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长是2，D是侧棱CC1的中点，直线AD与侧面BB1C1C所成的角为45°．（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣C的大小；（Ⅲ）求点

Question

如图，已知正三棱柱ABC﹣A ₁ B ₁ C ₁ 的底面边长是2，D是侧棱CC ₁ 的中点，直线AD与侧面BB ₁ C ₁ C所成的角为45°．
（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；
（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣C的大小；
（Ⅲ）求点C到平面ABD的距离．

Answer 1

（Ⅰ）设正三棱柱ABC﹣A ₁ B ₁ C ₁ 的侧棱长为x．取BC中点E，连接AE．
∵△ABC是正三角形，
∴AE⊥BC．
又底面ABC⊥侧面BB ₁ C ₁ C，且两平面交线为BC，
∴AE⊥侧面BB ₁ C ₁ C．
连接ED，则∠ADE为直线AD与侧面BB ₁ C ₁ C所成的角．
∴∠ADE=45°．
在Rt△AED中， ，
解得 ．
∴此正三棱柱的侧棱长为 ．
（Ⅱ）过E作EF⊥BD于F，连接AF．
∵AE⊥侧面BB ₁ C ₁ C，
∴EF是AF在平面BCD内的射影．
由三垂线定理，可知AF⊥BD．
∴∠AFE为二面角A﹣BD﹣C的平面角．
在Rt△BEF中，EF=BEsin∠EBF，又BE=1， ，
∴ ．又 ，∴在Rt△AEF中， ．
故二面角A﹣BD﹣C的大小为arctan3．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，BD⊥平面AEF，
∴平面AEF⊥平面ABD，且交线为AF，过E作EG⊥AF于G，则EG⊥平面ABD．
∴EG的长为点E到平面ABD的距离．
在Rt△AEF中， ．
∵E为BC中点，
∴点C到平面ABD的距离为 ．