已知椭圆C：的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．①若线段AB中点的横坐标为

Question

已知椭圆C： 的离心率为 ，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．
①若线段AB中点的横坐标为 ，求斜率k的值；
②已知点 ，求证： 为定值．

Answer 1

已知椭圆C： 的离心率为 ，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．
①若线段AB中点的横坐标为 ，求斜率k的值；
②已知点 ，求证： 为定值．

（1）因为 满足a ² =b ² +c ² ， ，
根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 ，
可得 ．
从而可解得 ，
所以椭圆方程为
（2）证明：①将y=k（x+1）代入 中，
消元得（1+3k ² ）x ² +6k ² x+3k ² ﹣5=0
△=36k ⁴ ﹣4（3k ² +1）（3k ² ﹣5）=48k ² +20＞0，
因为AB中点的横坐标为 ，所以 ，解得
②由①知 ，
所以 =
= =
= =