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设i为虚数单位，n为正整数．试用数学归纳法证明（cosx+isinx）n=cosnx+isinnx．
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设i为虚数单位，n为正整数．试用数学归纳法证明（cosx+isinx）n=cosnx+isinnx．
▼优质解答
答案和解析
①当n=1时，左边=cosx+isinx=右边，此时等式成立；
②假设当n=k时，等式成立，即（cosx+isinx）k=coskx+isinkx．
则当n=k+1时，（cosx+isinx）k+1=（cosx+isinx）k（cosx+sinx）
=（coskx+isinkx）（cosx+isinx）=coskxcosx-sinkxsinx+（coskxsinx+sinkxcosx）i
=cos[（k+1）x]+isin[（k+1）x]，
∴当n=k+1时，等式成立．
由①②得，（cosx+isinx）n=cosnx+isinnx．
②假设当n=k时，等式成立，即（cosx+isinx）k=coskx+isinkx．
则当n=k+1时，（cosx+isinx）k+1=（cosx+isinx）k（cosx+sinx）
=（coskx+isinkx）（cosx+isinx）=coskxcosx-sinkxsinx+（coskxsinx+sinkxcosx）i
=cos[（k+1）x]+isin[（k+1）x]，
∴当n=k+1时，等式成立．
由①②得，（cosx+isinx）n=cosnx+isinnx．
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