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设i为虚数单位,n为正整数.(1)证明:(cosx+isinx)n=cosnx+isinnx;(2)结合等式“[1+(cosx+isinx)]n=[(1+cosx)+isinx]n”,证明:1+C1ncosx+C2ncos2x+…+Cnncosnx=2ncosnx2cosnx2.
题目详情
设i为虚数单位,n为正整数.
(1)证明:(cosx+isinx)n=cosnx+isinnx;
(2)结合等式“[1+(cosx+isinx)]n=[(1+cosx)+isinx]n”,证明:1+
cosx+
cos2x+…+
cosnx=2ncosn
cos
.
(1)证明:(cosx+isinx)n=cosnx+isinnx;
(2)结合等式“[1+(cosx+isinx)]n=[(1+cosx)+isinx]n”,证明:1+
C | 1 n |
C | 2 n |
C | n n |
x |
2 |
nx |
2 |
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:①当n=1时,左边=cosx+isinx=右边,此时等式成立;
②假设当n=k时,等式成立,即(cosx+isinx)k=coskx+isinkx.
则当n=k+1时,(cosx+isinx)k+1=(cosx+isinx)k(cosx+sinx)
=(coskx+isinkx)(cosx+isinx)=coskxcosx-sinkxsinx+(coskxsinx+sinkxcosx)i
=cos[(k+1)x]+isin[(k+1)x],
∴当n=k+1时,等式成立.
由①②得,(cosx+isinx)n=cosnx+isinnx;
(2)证明:由(1)得:[1+(cosx+isinx)]n=
(cosx+isinx)r=
(cosrx+isinrx),
其实部为1+
cosx+
cos2x+…+
cosnx,
[(1+cosx)+isinx]n=2ncosn
(cos
+isin
)n=2ncosn
(+isin
),
其实部为2ncosn
cos
,
由两个复数相等,其实部也相等,即1+
cosx+
cos2x+…+
cosnx=2ncosn
cos
.
∴1+
cosx+
cos2x+…+
cosnx=2ncosn
cos
.
②假设当n=k时,等式成立,即(cosx+isinx)k=coskx+isinkx.
则当n=k+1时,(cosx+isinx)k+1=(cosx+isinx)k(cosx+sinx)
=(coskx+isinkx)(cosx+isinx)=coskxcosx-sinkxsinx+(coskxsinx+sinkxcosx)i
=cos[(k+1)x]+isin[(k+1)x],
∴当n=k+1时,等式成立.
由①②得,(cosx+isinx)n=cosnx+isinnx;
(2)证明:由(1)得:[1+(cosx+isinx)]n=
n |
![]() |
r=0 |
C | r n |
n |
![]() |
r=0 |
C | r n |
其实部为1+
C | 1 n |
C | 2 n |
C | n n |
[(1+cosx)+isinx]n=2ncosn
x |
2 |
x |
2 |
x |
2 |
x |
2 |
nx |
2 |
其实部为2ncosn
x |
2 |
nx |
2 |
由两个复数相等,其实部也相等,即1+
C | 1 n |
C | 2 n |
C | n n |
x |
2 |
nx |
2 |
∴1+
C | 1 n |
C | 2 n |
C | n n |
x |
2 |
nx |
2 |
看了 设i为虚数单位,n为正整数....的网友还看了以下:
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