设i为虚数单位，n为正整数．（1）证明：（cosx+isinx）n=cosnx+isinnx；（2）结合等式“[1+（cosx+isinx）]n=[（1+cosx）+isinx]n”，证明：1+C1ncosx+C2ncos2x+…+Cnncosnx=2ncosnx2cosnx2．

Question

设i为虚数单位，n为正整数．
（1）证明：（cosx+isinx）ⁿ=cosnx+isinnx；
（2）结合等式“[1+（cosx+isinx）]ⁿ=[（1+cosx）+isinx]ⁿ”，证明：1+

C

1 n

cosx+

C

2 n

cos2x+…+

C

n n

cosnx=2ⁿcosⁿ(x)/(2)cos(nx)/(2)．

Answer 1

（1）证明：①当n=1时，左边=cosx+isinx=右边，此时等式成立；
②假设当n=k时，等式成立，即（cosx+isinx）^k=coskx+isinkx．
则当n=k+1时，（cosx+isinx）^k+1=（cosx+isinx）^k（cosx+sinx）
=（coskx+isinkx）（cosx+isinx）=coskxcosx-sinkxsinx+（coskxsinx+sinkxcosx）i
=cos[（k+1）x]+isin[（k+1）x]，
∴当n=k+1时，等式成立．
由①②得，（cosx+isinx）ⁿ=cosnx+isinnx；
（2）证明：由（1）得：[1+（cosx+isinx）]ⁿ=

n

r=0

C

r n

（cosx+isinx）^r=

n

r=0

C

r n

（cosrx+isinrx），
其实部为1+

C

1 n

cosx+

C

2 n

cos2x+…+

C

n n

cosnx，
[（1+cosx）+isinx]ⁿ=2ⁿcosⁿ(x)/(2)（cos(x)/(2)+isin(x)/(2)）ⁿ=2ⁿcosⁿ(x)/(2)（+isin(nx)/(2)），
其实部为2ⁿcosⁿ(x)/(2)cos(nx)/(2)，
由两个复数相等，其实部也相等，即1+

C

1 n

cosx+

C

2 n

cos2x+…+

C

n n

cosnx=2ⁿcosⁿ(x)/(2)cos(nx)/(2)．
∴1+

C

1 n

cosx+

C

2 n

cos2x+…+

C

n n

cosnx=2ⁿcosⁿ(x)/(2)cos(nx)/(2)．