第一题!定理：若limAn=a,limBn=b,且a>b,则存在自然数N,当n>N时,有An>Bn.n→∞n→∞则有推论,limAn=a≠0,存在N,当n>N时,有∣An∣>∣a/2∣.n→∞问推论该如何证明?希望回答要详细点儿！至少让我看懂。

Question

第一题!
定理：若limAn=a,limBn=b,且a>b,则存在自然数N,当n>N时,有An>Bn.
n→∞ n→∞
则有推论,limAn=a≠0,存在N,当n>N时,有∣An∣>∣a/2∣.
n→∞
问推论该如何证明?
希望回答要详细点儿！至少让我看懂。

Answer 1

当 a > 0的时候,构造数列Bn,令Bn的每一项都为 a/2,则 limBn = a/2,由于 a > a/2,根据上述定理,则存在自然数N,当n > N时,有 An > Bn = a/2 ,由于 An和a/2都是正数,所以两边取绝对值,不等号方向不变,即 |An|>|a/2|;
当a < 0的时候,构造数列Bn ,令Bn 的每一项都为 a/2,则有 limBn = a/ 2,由于 a/2 > a,根据上述定理,则存在自然数N,当 n > N时,有 Bn > An,即 An < Bn = a/2 ,由于An 和a/2都是负数,所以两边取绝对值,不等号方向改变,即 |An|>|a/2|;
因此,有上述推论成立.