如图，在正方形ABCD的对角线上取点E，使得∠BAE=15°，连结AE，CE．延长CE到F，连结BF，使得BC=BF．若AB=1，则下列结论：①AE=CE；②F到BC的距离为32；③BE+EC=EF；④S△AED=14+312；⑤S△EBF=312．其中

Question

如图，在正方形ABCD的对角线上取点E，使得∠BAE=15°，连结AE，CE．延长CE到F，连结BF，使得BC=BF．若AB=1，则下列结论：
①AE=CE；②F到BC的距离为(√(3))/(2)；③BE+EC=EF；④S_△AED=(1)/(4)+(√(3))/(12)；⑤S_△EBF=(√(3))/(12)．
其中正确的是（　　）

A．①③
B．①③⑤
C．①②④
D．①③④⑤

Answer 1

①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，
∵BE=BE，
在△ABE和△CBE中，

AB＝BC

∠ABD＝∠CBD

BE＝BE

∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE=CE，
∴①正确；
②过F作FH⊥BC于H．
∵△ABE≌△CBE，
∴∠BAE=∠BCE=15°．
∵BF=BC=1，
∴∠BFC=∠FCB=15°，
∴∠FBH=∠BFC+∠FCB=30°，
∴FH=(1)/(2)BF=(1)/(2)，
∴②错误；
③在EF上取一点N，使BN=BE，
又∵∠BEN=∠EBC+∠ECB=45°+15°=60°，
∴△NBE为等边三角形，
∴∠ENB=60°，
又∵∠NFB=15°，
∴∠NBF=45°，
又∵∠EBC=45°，
∴∠NBF=∠EBC，
又∵BF=BC，∠NFB=∠ECB=15°，
在△FBN和△CBE中，

∠BFN＝∠BCE

∠NBF＝∠EBC

BF＝BC

∴△FBN≌△CBE（AAS），
∴NF=EC，
故BE+EC=EN+NF=EF，
∴③正确；
④过A作AM⊥BD交于M．
在直角△ABM中，∵∠BAD=90°，AB=AD=1，
∴BD=√(2)，
在直角△ADM中，∵∠AMD=90°，∠ADM=45°，AD=1，
∴DM=AM=(√(2))/(2)，
在直角△AEM中，∵∠AME=90°，∠AEM=60°，AM=(√(2))/(2)，
∴EM=(AM)/(√(3))=(√(6))/(6)，
∴S_△AED=(1)/(2)DE×AM=(1)/(2)（(√(2))/(2)+(√(6))/(6)）×(√(2))/(2)=(1)/(4)+(√(3))/(12)，
∴④正确；
⑤∵BD=√(2)，AM=DM=(√(2))/(2)，EM=(√(6))/(6)，
∴BM=BD-DM=√(2)-(√(2))/(2)=(√(2))/(2)，BM-EM=(√(2))/(2)-(√(6))/(6)，
∴S_△ABE=S_△ABM-S_△AEM=(1)/(2)BM•AM-(1)/(2)EM•AM=(1)/(2)AM（BM-EM）=(1)/(2)×(√(2))/(2)×（(√(2))/(2)-(√(6))/(6)）=(1)/(4)-(√(3))/(12)．
∵△ABE≌△CBE，
∴S_△ABE=S_△CBE=(1)/(4)-(√(3))/(12)，
∴S_△EBF=S_△FBC-S_△EBC=(1)/(2)×1×(1)/(2)-（(1)/(4)-(√(3))/(12)）=(√(3))/(12)，
∴⑤正确．
故正确答案为①③④⑤．
故选：D．