设f（x0）≠0，f（x）在x=x0连续，则f（x）在x0可导是|f（x）|在x0可导的（）条件．A．充分非必要条件B．充分必要C．必要非充分D．非充分非必要

Question

设f（x₀）≠0，f（x）在x=x₀连续，则f（x）在x₀可导是|f（x）|在x₀可导的（　　）条件．

A．充分非必要条件
B．充分必要
C．必要非充分
D．非充分非必要

Answer 1

∵f（x₀）≠0，f（x）在x=x₀连续
即

lim

x→0

f(x)＝f(x0)≠0
∴由极限的定义，可知∀ɛ＞0，∃δ＞0，当x∈（x₀-δ，x₀+δ）时，f（x₀）-ɛ＜f（x）＜f（x₀）+ɛ
即当x∈（x₀-δ，x₀+δ）时f（x）与f（x₀）同号，
若此时f（x₀）＞0，则|f（x）|=f（x），显然|f（x）|在x₀可导等价于f（x）在x₀可导；
若此时f（x₀）＜0，则|f（x）|=-f（x），显然|f（x）|在x₀可导等价于-f（x）在x₀可导，即f（x）在x₀可导
∴f（x）在x₀可导是|f（x）|在x₀可导的充分必要条件．
故选：B