如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，BD⊥面PAC，AC=10，PA=6，cos∠PCA=45，M是PC的中点．（Ⅰ）证明PC⊥平面BMD；（Ⅱ）若三棱锥M-BCD的体积为14，求菱形ABCD的边长．

Question

如图，四棱锥P-A BCD中，底面ABCD为菱形，BD⊥面PAC，A C=10，PA=6，cos∠PCA=(4)/(5)，M是PC的中点．
（Ⅰ）证明PC⊥平面BMD；
（Ⅱ）若三棱锥M-BCD的体积为14，求菱形ABCD的边长．

Answer 1

（I）∵BD⊥面PAC，PC⊂面PAC，
∴PC⊥BD，
△PAC中，AC=10，PA=6，cos∠PCA=(4)/(5)，
∴PA²=PC²+AC²-2PC•ACcos∠PCA，
∴PC=8，
连结MO，∵M是PC的中点，O是AC的中点，
∴PA∥MO，∴PC⊥MO，又∵BD∩MO=O，
∴PC⊥平面BMD；
（II）由题意知：三棱锥M-BCD的体积为14，
即V_M-BCD=V_C-MBD=(1)/(3)S_△MBD×CM=(1)/(6)BD•MO•CM=14，
∵CM=(1)/(2)PC=4，MO=(1)/(2)PA=3，
∴BD=7，
∴菱形ABCD的边长AB=√(AO2+OB2)=(√(149))/(2)．