如图，在菱形ABCD中，∠DAB=45°，AB=4，点P为线段AB上一动点，过点P作PE⊥AB交AD于点E，沿PE将∠A折叠，点A的对称点为点F，连接EF、DF、CF，当△CDF为等腰三角形时，AP的长为．

Question

如图，在菱形ABCD中，∠DAB=45°，AB=4，点P为线段AB上一动点，过点P作PE⊥AB交AD于点E，沿PE将∠A折叠，点A的对称点为点F，连接EF、DF、CF，当△CDF为等腰三角形时，AP的长为___．

Answer 1

如图1，当DF=CD时，点F与A重合或在点F′处．
∵在菱形ABCD中，AB=4，
∴CD=AD=4，
作DN⊥AB于N，
在RT△ADN中，∵AD=4，∠DAN=45°DN=AN=NF′=2√(2)，
∴AP=2√(2)，
如图2，当CF=CD=4时，点F与B重合或在F′处，
点F与B重合，PE是AB的垂直平分线，
作CM⊥AB于M，
∵CM=MF′=AN=2√(2)，
∴AF′=4√(2)+4，
∴AP=(1)/(2)AF′=2，
如图3中，当FD=FC时，
AF=2√(2)+2，
∴AP=(1)/(2)AF=√(2)+1．
综上所述：当△CDF为等腰三角形时，AP的长为2或√(2)+1或2√(2)．
故答案为：2或√(2)+1或2√(2)．