已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)经过点M(1,3/2),其离心率为1/2,设直线L;y=kx+b(k≤1/2)与椭圆C交AB两点以线段OA,OB为邻边做平行四边形OAPB,其中顶点P在椭圆上,O为坐标原点,求|Op|的取值范围

Question

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)经过点M(1,3/2),其离心率为1/2,设直线L;y=kx+b(k≤1/2)
与椭圆C交AB两点以线段OA,OB为邻边做平行四边形OAPB,其中顶点P在椭圆上,O为坐标原点,求|Op|的取值范围

Answer 1

先求椭圆方程 :将点M(1,3/2)代入椭圆 x²/a²+y²/b²=1, 得1/a²+9/4b²=1.
由e=c/a=1/2, 即c²/a²=1/4, 即(a²-b²)/a²=1/4, 得出3a²=4b²
联立上边两方程,解得:a²=4, b²=3.椭圆方程为x²/4+y²/3=1.

因AOBP是平行四边形,所以对角线互相平分,即AB,PO的中点重合,A,B,P又在椭圆上,设
A(X1,Y1), B(X2,Y2), P(X’,Y’),就有以下方程构成的方程组:
X1+X2=X’+0
Y1+Y2=Y’+0
X1²/4+y1²/3=1…..(1)
X2²/4+y2²/3=1…….(2)
X’²/4+y’²/3=1……..(3)
(1)-(2)得:3(X1+X2)(X1-X2)+4(Y1+Y2)(Y1-Y2)=0
化为 -3(X1+X2)/4(Y1+Y2)=(Y1-Y2)/(X1-X2)=K (AB的斜率’且k存在时).
即 -3X’/4Y’=K…….(4)
由(4) 求出 X’²=(16/9) Y’²,…(5)
由(3) 求出 Y'²=(1/4)(12-3X’²)=3-(4/3)K² Y’², 得出Y’=9/(3+4K²) 代入(5)得
X’=16K²/(3+4K²)
因PO的平方=X’²+Y’²=(9+16K²)/(3+4K²)
=4 -3/(4K²+3)
K=0时分母取最小值,PO的平方取最小值3
K正负无穷大时, PO的平方趋向最大值4.K不存在时取到最大值4,
所以PO长的范围是[√3 , 2]