如图所示,在梯形ABCD中,AD//BC,BC=BD=1,AB=AC,CD

Question

如图所示,在梯形ABCD中,AD//BC,BC=BD=1,AB=AC,CD

Answer 1

∵AB=AC
∴∠ACB=∠ABC
∵∠BAC+∠ACB+∠ABC=∠BAC+2∠ACB=180°
   ∠BAC+∠BDC=180°
∴∠BDC=2∠ACB； 
又 BD=BC,∠BDC=∠DCB, 
∴∠DCB=2∠ACB, 
∴∠ACB=∠ACD
又AD‖BC, 
∴∠ACB=∠ACD=∠CAD, 
∴△ACD为等腰三角形 
   △ABC与△DAC为相似等腰三角形, 
∴AC/BC=AD/AB （其中BC=1）, 
∴AD=AB*AC=AC²； 
根据余弦定理： 
cos∠BAC=（2AC²-1）/2AC² =（2AD-1）/2AD=（2CD-1）/2CD                                             
cos∠BDC=cos（180-∠BAC）=-cos∠BAC=(1+CD²-1)/(2x1*CD)=CD/2
从而
CD/2=-（2CD-1）/2CD 
解得
CD=√2-1.