平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p>0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率

Question

平面直角坐标系xOy中，双曲线C₁： (x2)/(a2)- (y2)/(b2)=1（a>0，b>0）的渐近线与抛物线C₂：x²=2py（p>0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C₂的焦点，则C₁的离心率为___．

Answer 1

双曲线C₁：(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a>0，b>0）的渐近线方程为y=±(b)/(a)x，
与抛物线C₂：x²=2py联立，可得x=0或x=±(2pb)/(a)，
取A（(2pb)/(a)，(2pb2)/(a2)），设垂心H（0，(p)/(2)），
则k_AH=((2pb2)/(a2)-(p)/(2))/((2pb)/(a))=(4b2-a2)/(4ab)，
∵△OAB的垂心为C₂的焦点，
∴(4b2-a2)/(4ab)×（-(b)/(a)）=-1，
∴5a²=4b²，
∴5a²=4（c²-a²）
∴e=(c)/(a)=(3)/(2)．
故答案为：(3)/(2)．