如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC外接圆于点E．（1）求证：IE=BE；（2）若IE=4，AE=8，求DE的长．

Question

如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC外接圆于点E．

（1）求证：IE=BE；
（2）若IE=4，AE=8，求DE的长．

Answer 1

（1）证明：连接IB．
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠IBD．
又∵∠BIE=∠BAD+∠ABI=∠CAD+∠IBD=∠IBD+∠DBE=∠IBE，
∴BE=IE．
（2）在△BED和△AEB中，
∠EBD=∠CAD=∠BAD，∠BED=∠AEB．
∴△BED∽△AEB，
∴(BE)/(AE)＝(DE)/(BE)，
∵IE=4，AE=8，
∴BE=4，
即DE=(BE2)/(AE)=2．