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如图，已知在△ABC中，D为AC上一点，且AD=DC+CB．过D作AC的垂线交外接圆于M，求证：M为优弧AB的中点．
题目详情
如图，已知在△ABC中，D为AC上一点，且AD=DC+CB．过D作AC的垂线交外接圆于M，求证：M为优弧
的中点．
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| AB |
▼优质解答
答案和解析
证明：延长AC至E，使CE=BC，连MA，MB，ME，BE，如图，
∵AD=DC+CB，
∴AD=DC+CE=DE，
∴∠1=∠3，
而MD⊥AE，
∴MA=ME；
又∵CE=CB，
∴∠2=∠5，
∵∠3=∠4=∠1，
∴∠1+∠2=∠4+∠5，
即∠MBE=∠MEB，
∴ME=MB，
∴MA=MB，
∴弧MA=弧MB，
∴M为优弧
的中点．
∵AD=DC+CB，
∴AD=DC+CE=DE，
∴∠1=∠3，
而MD⊥AE，
∴MA=ME；
又∵CE=CB，
∴∠2=∠5，
∵∠3=∠4=∠1，
∴∠1+∠2=∠4+∠5，
即∠MBE=∠MEB，
∴ME=MB，
∴MA=MB，
∴弧MA=弧MB，
∴M为优弧
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| AB |
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