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如图,已知:△ABC是⊙O的内接三角形,D是OA延长线上的一点,连接DC,且∠B=∠D=30°.(1)判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由.(2)若AC=6,求图中弓形(即阴影部分)的面积.

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如图,已知:△ABC是⊙O的内接三角形,D是OA延长线上的一点,连接DC,且∠B=∠D=30°.

(1)判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由.
(2)若AC=6,求图中弓形(即阴影部分)的面积.
▼优质解答
答案和解析
(1)直线CD是⊙O的切线
理由如下:
如图,连接OC
∵∠AOC、∠ABC分别是AC所对的圆心角、圆周角
∴∠AOC=2∠ABC=2×30°=60°
∴∠D+∠AOC=30°+60°=90°
∴∠DCO=90°
∴OC⊥CD,
∴CD是⊙O的切线
(2)过O作OE⊥AC,点E为垂足
∵OA=OC,∠AOC=60°
∴△AOC是等边三角形
∴OA=OC=AC=6,∠OAC=60°
在Rt△AOE中
OE=OA•sin∠OAC=6•sin60°=3
3

∴S△AOC=
1
2
×6×3
3
=9
3

∵S扇形AOC=
60π⋅62
360
=6π
∴S=S扇形AOC-S△AOC=6π-9
3