如图，已知在△ABC中，AB=4，BC=2，以点B为圆心，线段BC长为半径的弧交边AC于点D，且∠DBC=∠BAC，P是边BC延长线上一点，过点P作PQ⊥BP，交线段BD的延长线于点Q．设CP=x，DQ=y．（1）求CD的长；

Question

如图，已知在△ABC中，AB=4，BC=2，以点B为圆心，线段BC长为半径的弧交边AC于点D，且∠DBC=∠BAC，P是边BC延长线上一点，过点P作PQ⊥BP，交线段BD的延长线于点Q．设CP=x，DQ=y．

（1）求CD的长；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当∠DAQ=2∠BAC时，求CP的值．

Answer 1

（1）∵∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，
∴△BDC∽△ABC，
∴(CD)/(BD)＝(BC)/(AB)，
∵AB=4，BC=BD=2，
∴CD=1；
（2）∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC．
∵∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，
∴∠ABC=∠BDC．
∴∠ABC=∠ACB．
∴AC=AB=4，
作AH⊥BC，垂足为点H．
∴BH=CH=1．
作DE⊥BC，垂足为点E，可得DE∥AH．
∴(CE)/(CH)＝(CD)/(CA)，即(CE)/(1)＝(1)/(4)．
∴CE＝(1)/(4)，BE＝(7)/(4)．
又∵DE∥PQ
∴(DQ)/(BD)＝(EP)/(BE)，即(y)/(2)＝(x+(1)/(4))/((7)/(4))，
整理，得y＝(8)/(7)x+(2)/(7)．
定义域为x＞0．
（3）
∵∠DBC+∠DCB=∠DAQ+∠DQA，∠DCB=∠ABD+∠DBC，
∴2∠DBC+∠ABD=∠DAQ+∠DQA．
∵∠DAQ=2∠BAC，∠BAC=∠DBC，
∴∠ABD=∠DQA．
∴AQ=AB=4．
作AF⊥BQ，垂足为点F，可得QF＝(y+2)/(2)，DF＝(y−2)/(2)．
∴32−((y−2)/(2))2＝42−((y+2)/(2))2．
解得y＝(7)/(2)，
∴(8)/(7)x+(2)/(7)＝(7)/(2)．
解得x＝(45)/(16)，
即CP＝(45)/(16)．