如图，过圆外一点P作圆的两条切线PA、PB，A、B为切点，再过点P作圆的一条割线分别交圆于点C、D，过点B作PA的平行线分别交直线AC、AD于点E、F．求证：BE=BF．

Question

如图，过圆外一点P作圆的两条切线PA、PB，A、B为切点，再过点P作圆的一条割线分别交圆于点C、D，过点B作PA的平行线分别交直线AC、AD于点E、F．求证：BE=BF．

Answer 1

证明：如图，连接BC、BA、BD．所以∠ABC=∠PAC=∠E，则△ABC∽△AEB．
从而，(BE)/(BC)＝(AB)/(AC)，即BE＝(AB•BC)/(AC)=AB•(BC)/(AC)①，
∵PA∥EF，PA是圆的切线，
∴∠ABF=∠PAB=∠ADB，
∴△ABF∽△ADB，从而(BF)/(BD)＝(AB)/(AD)，
即BF＝(AB•BD)/(AD)=AB•(BD)/(AD)②，
另一方面，又因△PBC∽△PDB，△PCA∽△PAD，
∴(BC)/(BD)＝(PC)/(PB)，(AC)/(AD)＝(PC)/(PA)．
∵PA、PB是过圆外一点P作的圆的两条切线，
∴PA=PB，
∴(BC)/(BD)＝(AC)/(AD)，于是(BC)/(AC)＝(BD)/(AD)③，
∴由式①、②、③即知BE=BF．