已知椭圆和圆：，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A,B．（1）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e的值；（ⅱ）若椭圆上存在点P，使得，求椭圆离心率e

Question

已知椭圆 和圆 ： ，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A,B．

（1）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e的值；
（ⅱ）若椭圆上存在点P，使得 ，求椭圆离心率e的取值范围；
（2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，问当点P在椭圆上运动时， 是否为定值？请证明你的结论．

Answer 1

已知椭圆 和圆 ： ，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A,B．

（1）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e的值；
（ⅱ）若椭圆上存在点P，使得 ，求椭圆离心率e的取值范围；
（2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，问当点P在椭圆上运动时， 是否为定值？请证明你的结论．

（1） ，
（2） 为定值，定值是 . 

试题分析：（1）（ⅰ）∵ 圆 过椭圆的焦点，圆 ： ，∴ ，
∴ ， ，
∴   ．  4分
（ⅱ）由 及圆的性质，可得
，∴
∴
∴ ， ．      8分                 
（2）
设 ，则
, 整理得
 ∴ 方程为： ，             10分
方程为： ．
从而直线AB的方程为： ．                      12分
令 ，得 ，令 ，得 ，
∴ ，
∴ 为定值，定值是 .                      16
点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用，属于中档题。