已知曲线C：，直线l：y=kx，且直线l与曲线C相切于点，求直线l的方程及切点坐标．

Question

已知曲线C：，直线l：y=kx，且直线l与曲线C相切于点，求直线l的方程及切点坐标．____

Answer 1

【分析】切点(x₀，y₀)既在曲线上，又在切线上，由导数可得切线的斜率．联立方程组解之即可．

∵直线过原点，则k=(x₀≠1)．
由点(x₀，y₀)在曲线C上，则y₀=x₀³-3x₀²+2x₀，
∴=x₀²-3x₀+2．
又y′=3x²-6x+2，
∴在(x₀，y₀)处曲线C的切线斜率应为k=f′(x₀)=3x₀²-6x₀+2．
∴x₀²-3x₀+2=3x₀²-6x₀+2．
整理得2x₀²-3x₀=0．
解得x₀=，
∴y₀=-，k=-．
因此，直线l的方程为y=-x，切点坐标是(，-)．

【点评】对于高次函数凡涉及到切线或其单调性的问题时，要有求导意识．