求证:过一个椭圆的焦点做任意直线中与长轴垂直的直线被所截椭圆的弦最短.

Question

求证:过一个椭圆的焦点做任意直线中与长轴垂直的直线被所截椭圆的弦最短.

Answer 1

证：设焦点（c,0） 椭圆方程 (x/a)^2+(y/b)^2=1 过焦点直线方程 y/(x--c)^2=k=1/n
直线方程代入椭圆方程 (ny+c)^2/a^2+(y/b)^2=1 (n^2+a^2/b^2)y^2+2ncy+c^2-a^2=0
y1+y2=--2nc/(n^2+a^2/b^2) y1*y2=(c^2-a^2)/(n^2+a^2/b^2)
设交点A(x1,y1),B(x2,y2) x1=ny1+c x2=ny2+c x1--x2=n(y1-y2)
弦AB^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=(1+n^2)(y1-y2)^2=(1+n^2)*[(y1+y2)^2--4y1y2]
=(1+n^2)[4n^2c^2/(n^2+a^2/b^2)^2--4(c^2-a^2)(n^2+a^2/b^2)/(n^2+a^2/b^2)^2]
=(1+n^2)[--4(ac/b)^2+4a^4/b^2+4(an)^2]/(n^2+a^2/b^2)^2
=(1+n^2)[4a^2+4(an)^2]/(n^2+a^2/b^2)^2
=4a^2(1+n^2)^2/(n^2+a^2/b^2)^2
弦AB=2a(1+n^2)/(n^2+a^2/b^2)==2a[(n^2+a^2/b^2)-(a^2/b^2--1)]/(n^2+a^2/b^2)
=2a[1-(a^2/b^2-1)/(n^2+a^2/b^2)]
因为焦点（c,0）在X轴 a>b a^2/b^2>1 a^2/b^2--1>0
当 n=0 时,即k无穷大时）(a^2/b^2-1)/(n^2+a^2/b^2) 分母最小 ,分式值最大
也就是2a[1-(a^2/b^2-1)/(n^2+a^2/b^2)] 最小 即弦AB最短.