在直角坐标系xoy中，已知曲线C1：x=cosαy=sin2α（α为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρcos(θ-π4)=-22，曲线C3：ρ=2sinθ（1）求曲线C1，C2交点的直角坐标（2）设点A

Question

在直角坐标系xoy中，已知曲线C1：

x=cosα

y=sin2α

（α为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρcos(θ-(π)/(4))=-(√(2))/(2)，曲线C₃：ρ=2sinθ
（1）求曲线C₁，C₂交点的直角坐标
（2）设点A、B分别为曲线C₂，C₃上的动点，求|AB|的最大值．

Answer 1

（1）由曲线C1：

x=cosα

y=sin2α

（α为参数），
消去参数α可得：得：y+x²=1，x∈[-1，1]，①
曲线C2：ρcos(θ-(π)/(4))=-(√(2))/(2)，可变形为ρcosθ+ρsinθ+1=0，
∴曲线C₂：x+y+1=0，②，
联立①②可得：消去y可得：x²-x-2=0，解得x=-1或x=2（舍去），
∴M（-1，0）．
（2）曲线C₃：ρ=2sinθ，即ρ²=2ρsinθ，
∴曲线C₃：x²+（y-1）²=1，是以C（0，1）为圆心，半径r=1的圆，
而曲线C2：ρcos(θ-(π)/(4))=-(√(2))/(2)，即x+y+1=0是一条直线，
设圆心C到直线x+y+1=0的距离分别为d，
则d=(|0+1+1|)/(√(2))=√(2)，
分析可得|AB|≤d+1=√(2)+1，
则|AB|的最大值为√(2)+1．