在直角坐标系xOy中，直线l过M（2，0），倾斜角为α（α≠0）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求直线l的参数方程和曲线C的直角坐

Question

在直角坐标系xOy中，直线l过M（2，0），倾斜角为α（α≠0）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=4cosθ．
（Ⅰ）求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知直线l与曲线C交于A、B两点，且|MA|=2|MB|，求直线l的斜率k．

Answer 1

（本题满分为10分）
（Ⅰ）直线的参数方程为

x=2+tcosα

y=tsinα

（t为参数），
由ρsin²θ=4cosθ得ρ²sin²θ=4ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为y²=4x…（5分）
（Ⅱ）把x=2+tcosα，y=tsinα代入y²=4x，得（sin²α）t²-（4cosα）t-8=0．
设A、B两点对应的参数分别为t₁与t₂，
则t1+t2=(4cosα)/(sin2α)，t1t2=-(8)/(sin2α)，
易知t₁与t₂异号，
又∵|MA|=2|MB|，
∴t₁=-2t₂．消去t₁与t₂，
∴可得：tanα=±2，即k=±2．…（10分）