在平面直角坐标中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标第．设椭圆的长轴长为10，中心为（3，0），一个焦点在直角坐标原点．（1）求椭圆的直角坐标方程，并化为极坐标方程；（2

Question

在平面直角坐标中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标第．设椭圆的长轴长为10，中心为（3，0），一个焦点在直角坐标原点．
（1）求椭圆的直角坐标方程，并化为极坐标方程；
（2）当椭圆的过直角坐标原点的弦的长度为(640)/(91)时，求弦所在直线的直角坐标方程．

Answer 1

（1）由于椭圆的长轴长为10，中心为（3，0），
则a=5，2c=6，则c=3，
即有b²=a²-c²=16，
则椭圆方程为：((x-3)2)/(25)+(y2)/(16)=1，
再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，
则有ρ²（16+9cos²θ）-96ρcosθ-256=0；
（2）设椭圆的过直角坐标原点的弦的方程为：y=kx，
则代入椭圆方程，得，16（x-3）²+25k²x²=400，
即有（16+25k²）x²-96x-256=0，设交点为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则x₁+x₂=(96)/(16+25k2)，x₁x₂=-(256)/(16+25k2)，
由于弦长为：√(1+k2)•√((x1+x2)2-4x1x2)=√(1+k2)•√(((96)/(16+25k2))2+(1024)/(16+25k2))=(640)/(91)，
解得，k=±√(3)，
则弦所在直线的直角坐标方程为：y=±√(3)x．