如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，AC=CC1=6，M是棱CC1上一点．（1）若M、N分别是CC1、AB的中点，求证：CN∥平面AB1M；（2）求证：不论M在何位置，三棱锥A1-A

Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，AC=CC₁=6，M是棱CC₁上一点．

（1）若M、N分别是CC₁、AB的中点，求证：CN∥平面AB₁M；
（2）求证：不论M在何位置，三棱锥A₁-AMB₁的体积都为定值，并求出该定值．

Answer 1

证明：（1）取AB₁中点P，连结MP，NP，
∵P是AB₁的中点，N是AB的中点，∴PN∥BB₁，PN=(1)/(2)BB1，
∵M是CC₁的中点，∴CM∥BB₁，CM=(1)/(2)BB₁，
∴CM∥PN，CM=PN，∴四边形MCNP是平行四边形，
∴CN∥MP，∵MP⊂平面AB₁M，CN⊄AB₁M，
∴CN∥平面AB₁M．
（2）∵△ABC是等边三角形，∴CN⊥AB，
∵BB₁⊥平面ABC，PN∥BB₁，
∴PN⊥平面ABC，∵CN⊂平面ABC，
∴PN⊥CN，又∵AB⊂平面ABB₁A₁，PN⊂平面ABB₁A₁，AB∩PN=N，
∴CN⊥平面AB₁BA₁，
∵CN=√(AC2-AN2)=3√(3)．
∴V 棱锥A1-AMB1=V 棱锥M-AA1B1=(1)/(3)S △AA1B1•CN=(1)/(3)×(1)/(2)×6×6×3√(3)=18√(3)．
∴不论M在何位置，三棱锥A₁-AMB₁的体积都为定值18√(3)．