（2014•盐城一模）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别为BB1，AC的中点．（1）求证：BF∥平面A1EC；（3）求证：平面A1EC⊥平面ACC1A1．

Question

（2014•盐城一模）如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E，F分别为BB₁，AC的中点．
（1）求证：BF∥平面A₁EC；
（3）求证：平面A₁EC⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

证明：（1）连接A₁C与AC₁交于点O，连接OF，
∵F为AC的中点，
∴OF∥C₁C且OF=(1)/(2)C₁C，
∵E为BB₁的中点，
∴BE∥C₁C且BE=(1)/(2)C₁C，
∴BE∥OF且BE=OF，
∴四边形BEOF是平行四边形，
∴BF∥OE，
∵BF⊄平面A₁EC，OE⊂平面A₁EC，
∴BF∥平面A₁EC
（2）∵AB=CB，F为AC的中点，
∴BF⊥AC
由（1）知BF∥OE，
∴OE⊥AC，
∵AA₁⊥底面ABC，BF⊂底面ABC，
∴AA₁⊥BF，
∵BF∥OE，
∴OE⊥AA₁，
∵AA₁∩AC=A，
∴OE⊥平面A₁EC
∵OE⊂面A₁EC，
∴平面A₁EC⊥平面AA₁C₁C．