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(2014•盐城一模)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别为BB1,AC的中点.(1)求证:BF∥平面A1EC;(3)求证:平面A1EC⊥平面ACC1A1.
题目详情
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/7af40ad162d9f2d349d7145daaec8a136227ccb9.jpg)
(1)求证:BF∥平面A1EC;
(3)求证:平面A1EC⊥平面ACC1A1.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)连接A1C与AC1交于点O,连接OF,
∵F为AC的中点,
∴OF∥C1C且OF=
C1C,
∵E为BB1的中点,
∴BE∥C1C且BE=
C1C,
∴BE∥OF且BE=OF,
∴四边形BEOF是平行四边形,
∴BF∥OE,
∵BF⊄平面A1EC,OE⊂平面A1EC,
∴BF∥平面A1EC
(2)∵AB=CB,F为AC的中点,
∴BF⊥AC
由(1)知BF∥OE,
∴OE⊥AC,
∵AA1⊥底面ABC,BF⊂底面ABC,
∴AA1⊥BF,
∵BF∥OE,
∴OE⊥AA1,
∵AA1∩AC=A,
∴OE⊥平面A1EC
∵OE⊂面A1EC,
∴平面A1EC⊥平面AA1C1C.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/10dfa9ec8a136327412bf281928fa0ec09fac7b9.jpg)
∵F为AC的中点,
∴OF∥C1C且OF=
1 |
2 |
∵E为BB1的中点,
∴BE∥C1C且BE=
1 |
2 |
∴BE∥OF且BE=OF,
∴四边形BEOF是平行四边形,
∴BF∥OE,
∵BF⊄平面A1EC,OE⊂平面A1EC,
∴BF∥平面A1EC
(2)∵AB=CB,F为AC的中点,
∴BF⊥AC
由(1)知BF∥OE,
∴OE⊥AC,
∵AA1⊥底面ABC,BF⊂底面ABC,
∴AA1⊥BF,
∵BF∥OE,
∴OE⊥AA1,
∵AA1∩AC=A,
∴OE⊥平面A1EC
∵OE⊂面A1EC,
∴平面A1EC⊥平面AA1C1C.
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