求证:n棱柱中过侧棱的对角面的个数是f(n)=n(n-3).
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思路分析:利用“递推”法,f(k+1)-f(k)来寻找n=k+1比n=k时增加的对角面的个数.
证明:(1)当n=4时,四棱柱有2个对角面, ×4×(4-3)=2 命题成立.
(2)假设当n=k(k∈N + k≥4)时命题成立,即符合条件的棱柱的对角面有f(k)= k(k-3)个,现在考虑n=k+1的情形,第k+1条棱A k+1 B k+1 与其余和它不相邻的k-2条棱分别增加了1个对角面共k-2个,而面A 1 B 1 B k A k 变成了对角面,因此对角面的个数变为f(k)+(k-2)+1=
k(k-3)+k-1=
(k 2 -3k+2k-2)
= (k-2)(k+1)=
(k+1)[(k+1)-3]
即f(k+1)= (k+1)[(k+1)-3]成立.
由(1)(2)可知,命题对n≥4 n∈N + 都成立.
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