求证：n棱柱中过侧棱的对角面的个数是f(n)=n(n-3).

Question

求证：n棱柱中过侧棱的对角面的个数是f(n)= n(n-3).

Answer 1

思路分析：利用“递推”法，f(k+1)-f(k)来寻找n=k+1比n=k时增加的对角面的个数.

证明：（1）当n=4时，四棱柱有2个对角面， ×4×(4-3)=2 命题成立.

(2)假设当n=k(k∈N ₊ k≥4)时命题成立，即符合条件的棱柱的对角面有f(k)= k(k-3)个，现在考虑n=k+1的情形，第k+1条棱A _k+1 B _k+1 与其余和它不相邻的k-2条棱分别增加了1个对角面共k-2个，而面A ₁ B ₁ B _k A _k 变成了对角面，因此对角面的个数变为f(k)+(k-2)+1= k(k-3)+k-1= (k ² -3k+2k-2)

= (k-2)(k+1)= (k+1)［(k+1)-3］

即f(k+1)= (k+1)［(k+1)-3］成立.

由（1）（2）可知，命题对n≥4 n∈N ₊ 都成立.