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如图,在三棱锥P-ABC中,E,F分别为AC,BC的中点.(1)求证:EF∥平面PAB;(2)若平面PAC⊥平面ABC,且PA=PC,∠ABC=90°,求证:平面PEF⊥平面PBC.
题目详情
如图,在三棱锥P-ABC中,E,F分别为AC,BC的中点.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/c995d143ad4bd113b5baa6b059afa40f4bfb0538.jpg)
(1)求证:EF∥平面PAB;
(2)若平面PAC⊥平面ABC,且PA=PC,∠ABC=90°,求证:平面PEF⊥平面PBC.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/c995d143ad4bd113b5baa6b059afa40f4bfb0538.jpg)
(1)求证:EF∥平面PAB;
(2)若平面PAC⊥平面ABC,且PA=PC,∠ABC=90°,求证:平面PEF⊥平面PBC.
▼优质解答
答案和解析
(本小题满分14分)
证明:(1)∵E,F分别是AC,BC的中点,∴EF∥AB.---(1分)
又EF⊄平面PAB,-----(2分)
AB⊂平面PAB,------(3分)
∴EF∥平面PAB.-----(4分)
(2)在三角形PAC中,∵PA=PC,E为AC中点,
∴PE⊥AC.-----(5分)![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/c995d143ad4bd113b5baa6b059afa40f4bfb0538.jpg)
∵平面PAC⊥平面ABC,
平面PAC∩平面ABC=AC,
∴PE⊥平面ABC.-----(7分)
∴PE⊥BC.-----(8分)
又EF∥AB,∠ABC=90°,∴EF⊥BC,------(10分)
又EF∩PE=E,
∴BC⊥平面PEF.------(12分)
∴平面PEF⊥平面PBC.----(14分)
证明:(1)∵E,F分别是AC,BC的中点,∴EF∥AB.---(1分)
又EF⊄平面PAB,-----(2分)
AB⊂平面PAB,------(3分)
∴EF∥平面PAB.-----(4分)
(2)在三角形PAC中,∵PA=PC,E为AC中点,
∴PE⊥AC.-----(5分)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/c995d143ad4bd113b5baa6b059afa40f4bfb0538.jpg)
∵平面PAC⊥平面ABC,
平面PAC∩平面ABC=AC,
∴PE⊥平面ABC.-----(7分)
∴PE⊥BC.-----(8分)
又EF∥AB,∠ABC=90°,∴EF⊥BC,------(10分)
又EF∩PE=E,
∴BC⊥平面PEF.------(12分)
∴平面PEF⊥平面PBC.----(14分)
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