导数里面求极值,书上是这么写步骤的1.求出f（x）的导数2.令f'(x)=0求出驻点和不可导点3.划分区域,判断现在看题：求y=x^(1/x)的极限我这么做y'=[x^(1/x)][1-lnx][1/(x*x)]求出驻点得到x=e现在我就

Question

导数里面求极值,书上是这么写步骤的 1.求出f（x）的导数 2.令f'(x)=0 求出驻点和不可导点 3.划分区域,判断
现在看题：
求y=x^(1/x)的极限 我这么做 y'=[x^(1/x)][1-lnx][1/(x*x)]求出驻点得到x=e 现在我就不明白的是这句话“令f'(x)=0 求出驻点和不可导点”我不知道他说的不可导点到底是指什么?按我的理解是y'=[x^(1/x)][1-lnx][1/(x*x)]这个等式中x不能取到的点 那么我认为x还要不等于0,因为[1/(x*x)]
,接着我认为开始划分区域判断了.但是书上好像就是x=e 没有我那个不可导点.请问这个是怎么回事啊?

Answer 1

y = x^(1/x) = e^[lnx/x],
定义域就是x>0.
lim(x->0+)e^[lnx/x] = 0.
lim(x->+无穷）lnx/x = lim(x->+无穷）1/x = 0.
lim(x->+无穷）e^[lnx/x] = e^0 = 1.
在定义域内函数都可导.
y' = e^[lnx/x][1 - lnx]/x^2,
没有不可导的点.
0 < x < e,y'>0,函数单调增,0 < y(x) e,y' y(x) > 1
所以,函数在x = e处取得极大值e^(1/e).
【x=0和正无穷都不在定义域内,所以讨论极值时都不用考虑它们.】