作适当变换,计算下列二重积分：D∫∫(x-y)^2*[sin(x+y)]^2dxdy,其中D是平行四边形必行区域,它的四个顶点是（π,0）,（2π,π）,（π,2π）,（0,π）

Question

作适当变换,计算下列二重积分：
D∫∫(x-y)^2*[sin(x+y)]^2dxdy,其中D是平行四边形必行区域,它的四个顶点是（π,0）,（2π,π）,（π,2π）,（0,π）

Answer 1

D的四条边界曲线：x+y=π；x+y=3π；x-y=π；x-y=-π
设u=x+y,v=x-y,则x=(u+v)/2,y=(u-v)/2
dxdy=1/2*dudv
积分=∫∫v^2(sinu)^2*1/2*dudv (u：π→3π ；v：-π→π)
=1/2∫(sinu)^2du∫v^2dv(u：π→3π ；v：-π→π)
=1/3*π^4