∫(上限x，下限0）[t^2/根号下(a^2+t^2)]dt

Question

∫(上限x，下限0）[ t^2/根号下(a^2+t^2) ]dt

Answer 1

设t=atanθ，dt=sec²θdθ，积分上限变为arctan(x/a),下限为0。原式=∫(上限arctan(x/a),下限0)tan²θsecθdθ。而∫tan²θsecθdθ=∫tanθdsecθ=tanθsecθ-∫(secθ)^3dθ，∫tan²θsecθdθ=(1/2)[tanθsecθ-ln(secθ+tanθ)]+C，∴原式=(1/2)[tanθsecθ-ln(secθ+tanθ)]丨(θ)=arctan(x/a),0)=(x/2)/√(a²+x²)-(1/2)ln[x+√(a²+x²)]。供参考啊。