今天做题是发现一个问题：当a-1能被b整除,a^n-1也一定能被b整除（a、b、n为正整数）?

Question

今天做题是发现一个问题：当a-1能被b整除,a^n-1也一定能被b整除（a、b、n为正整数）?

Answer 1

是的楼主.要证明,最简单的,可以用数学归纳法.
【命题】设a、b、n为正整数,若(a-1)能被b整除,则(a^n-1)也能被b整除.
【证】
（1）当n=1时,由题设,(a-1)可以被b整除,命题的结论成立.
（2）假设当n=k时（k≥2）,命题成立,即：
(a^k-1)可以被b整除
或
a^k-1=m[k]·b【其中,m[k]是一个正整数,它随k变化（k是下标,这里打不出来）】
（3）当n=k+1时,a^(k+1)-1=a·(a^k-1)+(a-1)
由（2）的假设,(a^k-1)可以被b整除,而a又是正整数；由（1）可知,(a-1)也可以被b整除,所以a^(k+1)-1也可以被b整除,且可以知道：
a^(k+1)-1=m[k+1]·b,其中,m[k+1]=a·m[k]+m[1],m[1]=(a-1)/b,也是个正整数.
（4）综上所述,命题得证.
--补充--
楼下的 热心网友,不带这么玩儿的,你复制粘贴我的回复有意思啊?