若f(x)=x^2+mx+n(m、n为整数）,若f(x)是x^4+6^^x2+25及3x^4-6x^3+16x^22x+5的公因式,求f(1)

Question

若f(x)=x^2+mx+n(m、n为整数）,若f(x)是x^4+6^^x2+25及3x^4-6x^3+16x^2 2x+5的公因式,求f(1)

Answer 1

你的题目有些地方写得不完整吧.
算了一下,那两个式子应该是 x^4 + 6*x^2 + 25 和 3x^4 - 6x^3 + 16x^2 - 2x + 5.你写错了两个地方吧.
令：
G(x) = x^4 + 6*x^2 + 25
L(x) = 3x^4 - 6x^3 + 16x^2 - 2x + 5
它们有 f(x) 这个公因式,可以写为：
G(x) = f(x) * gf(x)
L(x) = f(x) * lf(x)
由于 f(x) = x^2 + m*x + n 已经是一个二次多项式了,所以 gf(x) 和 lf(x) 也都为二次多项式.令：
gf(x) = x^2 + a*x + b
lf(x) = 3*x^2 + A*x +B
这样先把 G(x) 乘出来：
G(x) = x^4 + (a+m)*x^3 + (b+am+n)*x^2 + (bm+an)*x + bn
= x^4 + 6*x^2 + 25
所以有：
a + m = 0
b + am + n = 6
bm + an = 0
bn = 25
解得：
m = 2 或 -2
n = 5
a = -2 或 2
b = 5
( 这个其实你真接把 G(x) 因式分解也可以：G(x)=(x^2+2x+5)(x^2-2x+5).由于 G(x)为偶函数,很容易想到两因式的一次项互为相反数.)
然后再把 L(x) 乘出来：
L(x) = 3*x^4 + (A+3m)*x^3 + (B+Am+3n)*x^2 + (Bm+An)*x + Bn
= 3x^4 - 6x^3 + 16x^2 - 2x + 5
由于前面算得 n=5 是唯一解,把 n=5 代入上式中比较各项系数列方程很容易解出一组
m = -2
n = 5
A = 0
B = 1
( 这里也一样,可以直接把 L(x) L(x) = (x^2-2x+5)(x^2+1) )
所以只能是 m = -2,n = 5;
f(1) = 1^2 - 2*1 + 5 = 4