已知函数f（x）=kex+b（k，b∈R）（其中e是自然对数的底数）的导数为f′（x），f′（1）+f（1）=2e，且f（x）在x=1处的切线过原点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设g（x）=x2+ax+1（a∈R），

Question

已知函数f（x）=ke^x+b（k，b∈R）（其中e是自然对数的底数）的导数为f′（x），f′（1）+f（1）=2e，且f（x）在x=1处的切线过原点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设g（x）=x²+ax+1（a∈R），若对∀x₁，x₂∈[0，2]，x₁>x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|>g（x₁）-g（x₂），求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）函数f（x）=ke^x+b的导数为f′（x）=ke^x，
f（x）在x=1处的切线斜率为ke，
切点为（1，ke+b），即有ke=ke+b，
解得b=0，
由f′（1）+f（1）=2e，
即为ke+ke+b=2e，
解得k=1，
则f（x）的解析式为f（x）=e^x；
（2）由f（x）在[0，2]递增，且x₁>x₂，
可得|f（x₁）-f（x₂）|=f（x₁）-f（x₂），
|f（x₁）-f（x₂）|>g（x₁）-g（x₂），
即为f（x₁）-g（x₁）>f（x₂）-g（x₂），
可令h（x）=f（x）-g（x），即有h（x）在[0，2]递增，
由h（x）=e^x-x²-ax-1，h′（x）=e^x-2x-a，
即有h′（x）≥0在[0，2]恒成立．
即为a≤e^x-2x的最小值．
由e^x-2x的导数为e^x-2，当ln2当0≤x可得x=ln2时取得最小值，且为2-2ln2．
则a≤2-2ln2．
即有a的取值范围是（-∞，2-2ln2]．