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已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)的顶点在直线y=-12x-1上,且过点A(4,0).(1)求这个抛物线的解析式;(2)设抛物线的顶点为P,是否在抛物线上存在一点B,使四边形OPAB为梯形?若存在,求出
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已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)的顶点在直线y=-
x-1上,且过点A(4,0).
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为P,是否在抛物线上存在一点B,使四边形OPAB为梯形?若存在,求出点B的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)设点C(1,-3),请在抛物线的对称轴确定一点D,使|AD-CD|的值最大,请直接写出点D的坐标.
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(1)求这个抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为P,是否在抛物线上存在一点B,使四边形OPAB为梯形?若存在,求出点B的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)设点C(1,-3),请在抛物线的对称轴确定一点D,使|AD-CD|的值最大,请直接写出点D的坐标.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵抛物线过点(0,0)、(4,0),
∴抛物线的对称轴为直线x=2.
∵顶点在直线y=-
x-1上,
∴顶点坐标为(2,-2).
故设抛物线解析式为y=a(x-2)2-2,
∵过点(0,0),
∴a=
,
∴抛物线解析式为y=
x2-2x;
(2)当AP∥OB时,
如图,∠BOA=∠OAP=45°,过点B作BH⊥x轴于H,则OH=BH.
设点B(x,x),
故x=
x2-2x,
解得x=6或x=0(舍去)
∴B(6,6).
当OP∥AB′时,同理设点B′(4-y,y)
故y=
(4-y)2-2(4-y),
解得y=6或y=0(舍去),
∴B′(-2,6);
∴B的坐标为(6,6)或(-2,6).
(3)D坐标应是(2,-6).
∴抛物线的对称轴为直线x=2.
∵顶点在直线y=-
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∴顶点坐标为(2,-2).
故设抛物线解析式为y=a(x-2)2-2,
∵过点(0,0),
∴a=
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∴抛物线解析式为y=
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(2)当AP∥OB时,
如图,∠BOA=∠OAP=45°,过点B作BH⊥x轴于H,则OH=BH.
设点B(x,x),
故x=
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解得x=6或x=0(舍去)
∴B(6,6).
当OP∥AB′时,同理设点B′(4-y,y)
故y=
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解得y=6或y=0(舍去),
∴B′(-2,6);
∴B的坐标为(6,6)或(-2,6).
(3)D坐标应是(2,-6).
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