已知函数f(x)=x(x-6)+alnx在x∈(2，+∞)上不具有单调性．(I)求实数a的取值范围；(II)若f'(x)是f(x)的导函数，设，试证明：对任意两个不相等正数、，不等式恒成立．

Question

已知函数f(x)=x(x-6)+alnx在x∈(2，+∞)上不具有单调性．
(I)求实数a的取值范围；
(II)若f'(x)是f(x)的导函数，设，试证明：对任意两个不相等正数、，不等式恒成立．____

Answer 1

【分析】(Ⅰ)因函数在区间(2，+∞)上不具有单调性，则其导函数在(2，+∞)上即有正也有负，有零点，求出范围即可．
(Ⅱ)由(I)求出g(x)的函数表达式，然后求导函数h(x)，通过判断h(x)的单调性求出g'(x)，然后可以得到函数为增函数，即可得到不等式成立．

(I)，
∵f(x)在x∈(2，+∞)上不具有单调性，
∴在x∈(2，+∞)上f'(x)可为正为负或为0，
即二次函数y=2x²-6x+a在x∈(2，+∞)上有零点．
∵y=2x²-6x+a是对称轴是，开口向上的抛物线，
∴y=2•2²-6•2+a<0的实数a的取值范围(-∞，4)，
故实数a的范围为(-∞，4)．
(II)由(I)，
∵a<4，∴，(8分)
设，，
h(x)在是减函数，在增函数，
当时，h(x)取最小值，
∴从而g'(x)，∴，
函数是增函数，x₁、x₂是两个不相等正数，
不妨设x₁<x₂，则
∴，
∵x₂-x₁>0，∴
∴，即.

【点评】此题主要考查不等式的证明问题，其中涉及到利用求导函数的方法求函数单调性的问题，涵盖的考点较多，技巧性强，属于综合性试题．