AB是圆直径,弦CD垂直AB于E,F是DC延长线上一点,FA、FB与圆O分别交于M、G,GE与圆O交于N.求证AB平分角MAN

Question

AB是圆直径,弦CD垂直AB于E,F是DC延长线上一点,FA、FB与圆O分别交于M、G,GE与圆O交于N.求证AB平分角MAN

Answer 1

证明：
连接AG
∵AB是直径
∴∠AGB=90º
∵CD⊥AB
∴∠FEB=90º=∠AGB
又∵∠ABG=∠FBE【公共角】
∴⊿ABG∽⊿FBE（AA‘）
∴AB/FB=BG/BE
即AB/BG=FB/BE
又∵∠GBE=∠ABF【公共角】
∴⊿ABF∽⊿GBE【对应边成比例夹角相等】
∴∠BAF=∠BGE
∵∠BAN=∠BGE【同弧所对的圆周角相等】
∴∠BAF=∠BAN
∴AB平分∠MAN