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已知梯形ABCD中,对角线AC与腰BC相等,M是底边AB的中点,L是边DA延长线上一点连接LM并延长交对角线BD于N点.求证:∠ACL=∠BCN.
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已知梯形ABCD中,对角线AC与腰BC相等,M是底边AB的中点,L是边DA延长线上一点连接LM并延长交对角线BD于N点.求证:∠ACL=∠BCN.
▼优质解答
答案和解析
延长LM至G,使LM=MG,
∵AM=MB,LM=MG,
∴四边形ALBG是平行四边形,
∴AL=BG,AL∥GB,
∴
=
,
延长CN交AB于F,令LC与AB的交点为E,
∵AB是梯形ABCD的底边,
∴BF∥CD,
∴
=
,
由
=
,
得:
=
,
∴LC∥FG,
∴∠ELM=∠FGB,
∵AL∥GB,
∴∠LAE=∠GBF,∠ALM=∠BGM,
∴∠ALM-∠ELM=∠BGM-∠FGB,
∴∠ALE=∠BGF,
在△ALE与△BGF中,
,
∴△ALE≌△BGF,
∴AE=BF,
∵AC=BC,
∴∠CAE=∠CBF,
在△ACE与△BCF中,
,
∴△ACG≌△BCF,
∴∠ACL=∠BCN.
∵AM=MB,LM=MG,
∴四边形ALBG是平行四边形,
∴AL=BG,AL∥GB,
∴
LN |
FN |
DN |
BN |
延长CN交AB于F,令LC与AB的交点为E,
∵AB是梯形ABCD的底边,
∴BF∥CD,
∴
CN |
FN |
DN |
BN |
由
LN |
FN |
DN |
BN |
得:
LN |
EN |
DN |
BN |
∴LC∥FG,
∴∠ELM=∠FGB,
∵AL∥GB,
∴∠LAE=∠GBF,∠ALM=∠BGM,
∴∠ALM-∠ELM=∠BGM-∠FGB,
∴∠ALE=∠BGF,
在△ALE与△BGF中,
|
∴△ALE≌△BGF,
∴AE=BF,
∵AC=BC,
∴∠CAE=∠CBF,
在△ACE与△BCF中,
|
∴△ACG≌△BCF,
∴∠ACL=∠BCN.
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