已知梯形ABCD中，对角线AC与腰BC相等，M是底边AB的中点，L是边DA延长线上一点连接LM并延长交对角线BD于N点．求证：∠ACL=∠BCN．

Question

已知梯形ABCD中，对角线AC与腰BC相等，M是底边AB的中点，L是边DA延长线上一点连接LM并延长交对角线BD于N点．求证：∠ACL=∠BCN．

Answer 1

延长LM至G，使LM=MG，
∵AM=MB，LM=MG，
∴四边形ALBG是平行四边形，
∴AL=BG，AL∥GB，
∴(LN)/(FN)=(DN)/(BN)，
延长CN交AB于F，令LC与AB的交点为E，
∵AB是梯形ABCD的底边，
∴BF∥CD，
∴(CN)/(FN)=(DN)/(BN)，
由(LN)/(FN)=(DN)/(BN)，
得：(LN)/(EN)=(DN)/(BN)，
∴LC∥FG，
∴∠ELM=∠FGB，
∵AL∥GB，
∴∠LAE=∠GBF，∠ALM=∠BGM，
∴∠ALM-∠ELM=∠BGM-∠FGB，
∴∠ALE=∠BGF，
在△ALE与△BGF中，

∠ALE=∠BGF

AL=BG

∠LAE=∠GBF

，
∴△ALE≌△BGF，
∴AE=BF，
∵AC=BC，
∴∠CAE=∠CBF，
在△ACE与△BCF中，

AC=BC

∠CAE=∠CBF

AE=BF

，
∴△ACG≌△BCF，
∴∠ACL=∠BCN．