（2014•营口）如图，在⊙O中，直径AB平分弦CD，AB与CD相交于点E，连接AC、BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA=∠B．（1）求证：CF是⊙O的切线．（2）若AC=4，tan∠ACD=12，求⊙O的半径．

Question

（2014•营口）如图，在⊙O中，直径AB平分弦CD，AB与CD相交于点E，连接AC、BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA=∠B．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）若AC=4，tan∠ACD=(1)/(2)，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接CO，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∵OB=CO，
∴∠B=∠OCB，
∵∠FCA=∠B，
∴∠BCO=∠ACF，
∴∠OCA+∠ACF=90°，
即∠OCF=90°，
∴CF是⊙O的切线；

（2）∵直径AB平分弦CD，
∴AB⊥DC，
∴

AD

=

AC

，
∵AC=4，tan∠ACD=(1)/(2)，
∴tan∠B=tan∠ACD=(AC)/(BC)=(1)/(2)，
∴(AC)/(BC)=(1)/(2)，
∴BC=8，
∴在Rt△ABC中，
AB=√(BC2+AC2)=√(82+42)=4√(5)，
则⊙O的半径为：2√(5)．