如图,已知△ABC中,∠ABC=30°,PA⊥平面ABC,PC⊥BC,PB与平面ABC成45°角,求二面角A-PB-C的正弦值你说如图,作三条辅助线,过A点作BP的垂线交BP于M,在BC的延长线上找一点Q,使得QM⊥BM,联结AQ,我们最后要证

Question

如图,已知△ABC中,∠ABC=30°,PA⊥平面ABC,PC⊥BC,PB与平面ABC成45°角,求二面角A-PB-C的正弦值
你说 如图,作三条辅助线,过A点作BP的垂线交BP于M,在BC的延长线上找一点Q,使得QM⊥BM,联结AQ,我们最后要证明△MAQ是直角三角形且AM⊥AQ.
设AB长度为1
△ABP为等腰直角三角形,AM为中垂线,AM=BM=√2 /2
其中那个AM为中垂线怎么证明

Answer 1

解析:过点C作CD⊥AB于点D,
∵PA⊥平面ABC,CD平面ABC,
∴CD⊥PA.∴CD⊥平面PAB.
作DE⊥PB于E,连结CE,则CE⊥PB.∴∠DEC为二面角A-PB-C的平面角.
设AC=m,由PC⊥BC,PA⊥平面ABC得∠ACB=90°.又∠ABC=30°,知BC=m.
∴CD=BCsin30°=m,AB==2m.
由PA⊥平面ABC,知∠PBA为PB与平面ABC所成的角.
∴∠PBA=45°.∴PA=BA=2m.
在Rt△PAC中,PC=.
在Rt△PBC中,PB=.
∵PB·EC=PC·BC,
∴EC=.
在Rt△ECD中,sin∠CED=,
即二面角APBC的正弦值为.