已知三角形ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c并且sinb（tanA+tanC）=tanAtanC（1）求证a.b.c成等比数列（2）若a=1,c=2求三角形ABC的面积S

Question

已知三角形ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c并且sinb（tanA+tanC）=tanAtanC
（1）求证a.b.c成等比数列
（2）若a=1,c=2求三角形ABC的面积S

Answer 1

已知sinB(tanA+tanC)=tanAtanC,那么：
sinB(sinA/cosA + sinC/cosC)=(sinAsinC)/(cosAcosC)
即sinB(sinAcosC+cosAsinC)/(cosAcosC)=(sinAsinC)/(cosAcosC)
所以：sinBsin(A+C)=sinAsinC
又sin(A+C)=sin(180°-B)=sinB,那么：
sin^2B=sinAsinC
由正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC可得：
b^2=a*c
所以边a,b,c成等比数列.
b^2=ac
a=1,c=2,得b^2=2
余弦定理
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=3/4
∠B在ABC三角中,大小居中,只能为锐角
所以sinB=√7/4
根据面积公式,S=acsinB/2=√7/4