如图，等边△ABC，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，分别联结AP、BP、AQ、CQ，∠ABP=∠ACQ，BP=CQ．（1）说明△ABP≌△ACQ；（2）联结PQ，说明△APQ是等边三角形；（3）联结PC，设△CPQ是以∠PQC为顶角

Question

如图，等边△ABC，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，分别联结AP、BP、AQ、CQ，∠ABP=∠ACQ，BP=CQ．

（1）说明△ABP≌△ACQ；
（2）联结PQ，说明△APQ是等边三角形；
（3）联结PC，设△CPQ是以∠PQC为顶角的等腰三角形，且∠BPC=100°，求∠APB的度数．

Answer 1

（1）如图，

∵△ABC是等边三角形（已知），
∴AB=AC，∠BAC=60°（等边三角形的性质）．
在△ABP和△ACQ中，

AB=AC(已求)

∠ABP=∠ACQ(已知)

BP=CQ(已知)

，
∴△ABP≌△ACQ（SAS）．
（2）∵△ABP≌△ACQ，
∴AP=AQ，∠1=∠2（全等三角形的对应边、对应角相等）．
∵∠1+∠3=60°，
∴∠2+∠3=60°．
即∠PAQ=60°．
∴△APQ是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．
（3）如图，

∵△ABP≌△ACQ，
∴∠APB=∠AQC（全等三角形的对应角相等）．
设∠APB=x°，那么∠AQC=x°． 
∵△APQ是等边三角形，
∴∠APQ=∠AQP=60°．
得∠PQC=（x-60）°．
∵QP=QC，
∴∠QPC=∠QCP（等边对等角）．
∵∠QPC+∠QCP+∠PQC=180°（三角形的内角和等于180°），
∴∠QPC=（120-(x)/(2)）°．
∵∠APB+∠BPC+∠CPQ+∠APQ=360°，
又∵∠BPC=100°，
∴x+100+120-(x)/(2)+60=360，
解得x=160．
∴∠APB=160°．