圆O和圆O‘的公共弦为AB,若AB分别为圆O和圆O的内接正三角形和内接正六边形,AB=2,则两公共部分面积为

Question

圆O和圆O‘的公共弦为AB,若AB分别为圆O和圆O的内接正三角形和内接正六边形,AB=2,则两公共部分面积为

Answer 1

AB为圆O的内接正三角形的边：
圆心角θ=2π/3
半径r=(AB/2)/sin[(2π/3)/2]=1/(根号3/2)=2/根号3
弓形面积=扇形面积-S△OAB=1/2 θr^2-1/2r^2sinθ=1/2r^2(θ-sinθ)
=1/2*(2/根号3)^2(2π/3-sin2π/3)=4π/9-2根号3 /3
AB为圆O' 的内接正六边形的边：
圆心角θ'=π/3
半径R=AB=2
弓形面积=扇形面积-S△OAB=1/2 θ'R^2-1/2R^2sinθ'=1/2R^2(θ'-sinθ')
=1/2^2^2(π/3-sinπ/3)=2π/3-根号3
阴影部分面积=两个弓形面积相加=4π/9-2根号3 /3+2π/3-根号3=10π/9 - 5根号3 /3