（文科）设函数f（x）=2x+ax+1（a≠2）．（1）用反证法证明：函数f（x）不可能为偶函数；（2）求证：函数f（x）在（-∞，-1）上单调递减的充要条件是a＞2．

Question

（文科）设函数f（x）=(2x+a)/(x+1)（a≠2）．
（1）用反证法证明：函数f（x）不可能为偶函数；
（2）求证：函数f（x）在（-∞，-1）上单调递减的充要条件是a＞2．

Answer 1

（1）假设函数f（x）是偶函数，
则f（-2）=f（2），即(−4+a)/(−1)＝(4+a)/(3)，解得a=2，
这与a≠2矛盾，
∴函数f（x）不可能是偶函数．
（2）证明：∵f(x)＝(2x+a)/(x+1)，（x≠-1）．
∴f′(x)＝(2−a)/((x+1)2)．
①充分性：当a＞2时，f′(x)＝(2−a)/((x+1)2)＜0，
∴函数f（x）在（-∞，-1）单调递减； 
②必要性：当函数f（x）在（-∞，-1）单调递减时，
有f′(x)＝(2−a)/((x+1)2)≤0，即a≥2，又a≠2，∴a＞2．
综合①②知，原命题成立．