（2014•湖北模拟）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+26=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设A（-4，0），过点R（3，0）作

Question

（2014•湖北模拟）已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的离心率为(1)/(2)，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2√(6)=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A（-4，0），过点R（3，0）作与x轴不重合的直线l交椭圆于P，Q两点，连结AP，AQ分别交直线x=(16)/(3)于M，N两点，试探究直线MR、NR的斜率之积是否为定值，若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意：b＝(|2√(6)|)/(√(2))＝2√(3)（2分）
e2＝(a2−b2)/(a2)＝(1)/(4)⇒a2＝16（4分）
故椭圆C的方程为(x2)/(16)+(y2)/(12)＝1（5分）
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），若直线PQ与纵轴垂直，
则M，N中有一点与A重合，与题意不符，
故可设直线PQ：x=my+3．（6分）
将其与椭圆方程联立，消去x得：（3m²+4）y²+18my-21=0（7分）
y1+y2＝(−18m)/(3m2+4)，y1y2＝(−21)/(3m2+4)（8分）
由A，P，M三点共线可知，(yM)/((16)/(3)+4)＝(y1)/(x1+4)，yM＝(28)/(3)•(y1)/(x1+4)，（9分）
同理可得yN＝(28)/(3)•

作业帮用户 2017-09-19

问题解析

（1）由已知条件推导出b＝

y2

(|2√(6)|)/(√(2))＝2√(3)，e＝(1)/(2)，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），设直线PQ：x=my+3，与椭圆方程联立，得（3m²+4）y²+18my-21=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线MR、NR的斜率为定值−(12)/(7)．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：

本题考查椭圆方程的求法，考查两直线的斜率之积为定值的判断与证明，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．

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