高中数学已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的左焦点为F,若双曲线上存在点P,使得线段PF的中点Q仍在双曲线上,则双曲线的离心率的取值范围是

Question

高中数学
已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的左焦点为F,若双曲线上存在点P,使得线段PF的中点Q仍在双曲线上,则双曲线的离心率的取值范围是

Answer 1

显然,若存在这样的P点,则一定在右支.
考虑F(-c,0),P(x0,y0).x0≥a.
其中点记为Q,则Q((x0-c)/2,y0/2).
又Q在双曲线上,得：((x0-c)/2)²/a²-(y0/2)²/b²=1.①
又P在双曲线上,得x0²/a²-y0²/b²=1.②
联立①、②,整理得c²-3a²=2cx0.
又x0≥a,故c²-3a²=2cx≥2ca.
两边同时除以a²,即e²-3≥2e.
解得e≥3或e≤-1(舍).
综上,e∈[3,+∞).