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一道大学数学题,求f(x)已知f(x)+f((x-1)/x)=2x,求f(x).
题目详情
一道大学数学题,求f(x)
已知f(x)+f((x-1)/x)=2x,求f(x).
已知f(x)+f((x-1)/x)=2x,求f(x).
▼优质解答
答案和解析
我们已知
(1)f(x) + f(1-1/x) = 2x,
接下来,用1-1/x代替x写入(1)式,可知
(2)f(1-1/x) + f(1/(1-x)) = 2(1-1/x),
然后,用1/(1-x)代替x写入(1)式,我们有
(3)f(1/(1-x)) + f(x) = 2(1/(1-x)),
通过观察,我们知道(1)(2)(3)等式左边的f(x)、f(1-1/x)、f(1/(1-x))各出现了2次,所以,把这三个等式左右各自叠加起来我们有
2*[f(x) + f(1-1/x) + f(1/(1-x))] = 2*[x + (1-1/x) + (1/(1-x))]
所以有,
(4)f(x) + f(1-1/x) + f(1/(1-x)) = x + (1-1/x) + (1/(1-x))
利用(4)减去(2),我们立即可以得到
f(x) = x - (1-1/x) + (1/(1-x)) = x-1 + 1/x + 1/(1-x)
(1)f(x) + f(1-1/x) = 2x,
接下来,用1-1/x代替x写入(1)式,可知
(2)f(1-1/x) + f(1/(1-x)) = 2(1-1/x),
然后,用1/(1-x)代替x写入(1)式,我们有
(3)f(1/(1-x)) + f(x) = 2(1/(1-x)),
通过观察,我们知道(1)(2)(3)等式左边的f(x)、f(1-1/x)、f(1/(1-x))各出现了2次,所以,把这三个等式左右各自叠加起来我们有
2*[f(x) + f(1-1/x) + f(1/(1-x))] = 2*[x + (1-1/x) + (1/(1-x))]
所以有,
(4)f(x) + f(1-1/x) + f(1/(1-x)) = x + (1-1/x) + (1/(1-x))
利用(4)减去(2),我们立即可以得到
f(x) = x - (1-1/x) + (1/(1-x)) = x-1 + 1/x + 1/(1-x)
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