对于椭圆＝1，是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰好被直线＝0平分？若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由．

Question

对于椭圆 ＝1，是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰好被直线 ＝0平分？若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：
　　设l的方程为y＝kx＋m，由得 　　(k2＋9)x2＋2kmx＋m2－9＝0， 　　∴Δ＝4k2m2－4(k2＋9)(m2－9)＞0， 　　即m2－k2－9＜0． 　　又， 　　∴m＝．∴－(k2＋9)＜0． 　　解得k2＞3，即k＞或k＜， 　　∴倾斜角又满足＜α＜或＜α＜， 　　即满足条件的直线l存在，其倾斜角的范围是(，)∪(，)．
提示：
此类存在性问题的一般解题思路是假设存在，按题目条件，求出则说明存在；若推出矛盾结果，则说明不存在，可设出l的方程与椭圆方程组成方程组，利用韦达定理、中点坐标公式求解，同时要注意Δ＞0的要求．